任意質(zhì)量的三個(gè)星球在重力作用下如何運(yùn)動(dòng)？牛頓1687年提出的這個(gè)著名的“三體問(wèn)題”，三百余年來(lái)得到國(guó)際學(xué)術(shù)界的廣泛關(guān)注，成為歷史上最著名的科學(xué)問(wèn)題之一。根據(jù)Montgomery提出的三體問(wèn)題周期軌道的拓?fù)浞诸惙?，?687年到1993年三百余年內(nèi)，僅發(fā)現(xiàn)三體問(wèn)題三個(gè)周期軌道家族，即：（1）Euler–Lagrange家族（精確解，歐拉1740年，拉格朗日1772年），（2）BBH家族（數(shù)值解，Broucke 1975年，Broucke 和 Boggs 1975年，Hadjidemetriou 1975年，Hénon 1976年）（3）Figure-8家族（數(shù)值解，Moore 1993年）。為什么三體問(wèn)題周期軌道如此難找？1890年龐加萊發(fā)現(xiàn)，三體系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)軌跡一般不存在第一類積分（即解析解一般情況下不存在），且對(duì)初始條件非常敏感：任何微小擾動(dòng)都會(huì)被指數(shù)放大，導(dǎo)致其軌跡與真解的迅速分離。這種軌跡對(duì)微小擾動(dòng)的敏感性，1963年被Lorenz再次發(fā)現(xiàn)，并提出著名的“蝴蝶效應(yīng)”。該特性的發(fā)現(xiàn)標(biāo)志著“混沌動(dòng)力學(xué)”的誕生，它與量子力學(xué)、相對(duì)論被認(rèn)為是20世紀(jì)最偉大的三大物理理論之一。正是因?yàn)槿w問(wèn)題本質(zhì)上的混沌性，導(dǎo)致即使采用傳統(tǒng)的數(shù)值方法也很難在一個(gè)較長(zhǎng)時(shí)域內(nèi)獲得三體系統(tǒng)的準(zhǔn)確軌道。這很好地解釋了，為什么自牛頓1687年提出三體問(wèn)題后三百余年，僅僅發(fā)現(xiàn)三體問(wèn)題三族周期軌道。

眾所周知，任何數(shù)值計(jì)算都存在誤差。1989年Lorenz發(fā)現(xiàn)，由于“蝴蝶效應(yīng)”，微小的數(shù)值誤差作為一種人為的小擾動(dòng)，同樣會(huì)導(dǎo)致混沌系統(tǒng)數(shù)值解（軌跡）的迅速偏離。特別是，Lorenz發(fā)現(xiàn)，如果采用雙精度（double precision）數(shù)值求解混沌動(dòng)力系統(tǒng)，無(wú)任時(shí)間步長(zhǎng)多么短，混沌系統(tǒng)的軌跡都不收斂。這很好地解釋了，為何在2013年計(jì)算機(jī)性能達(dá)到每秒100億億次量級(jí)時(shí)，僅發(fā)現(xiàn)三體問(wèn)題11族新的周期軌道。

2009年上海交通大學(xué)廖世俊提出一個(gè)數(shù)值求解混沌動(dòng)力系統(tǒng)收斂軌跡的策略，即Clean Numerical Simulation (CNS)。CNS不僅減少數(shù)值模擬的截?cái)嗾`差，還采用多精度數(shù)據(jù) (multiple precision) 代替雙精度（double precision），將整個(gè)數(shù)值誤差降到任意小，從而可以在一個(gè)足夠長(zhǎng)的時(shí)域內(nèi)獲得混沌系統(tǒng)收斂的數(shù)值解。因此，CNS在理論上為準(zhǔn)確獲得三體問(wèn)題的周期軌道鋪平了道路。2017年，廖世俊團(tuán)隊(duì)將CNS與搜尋法和Newton–Raphson迭代法相結(jié)合，成功獲得等質(zhì)量、零角動(dòng)量的三體問(wèn)題695族周期軌道（Science China – Physics, Mechanics & Astronomy, 2017），其中包括 ?uvakov 和 Dmitra?inovi? 2013年發(fā)現(xiàn)的11族（周期均小于100）周期軌道，466族周期軌道的周期都大于100，從未見(jiàn)報(bào)道。2018年廖世俊團(tuán)隊(duì)與上海交通大學(xué)物理和天文學(xué)院景益鵬院士合作，應(yīng)用CNS和搜尋法以及Newton–Raphson迭代法，進(jìn)一步成功獲得兩個(gè)質(zhì)量相等、角動(dòng)量為零的三體系統(tǒng)1349族新周期解 ( Publications of the Astronomical Society of Japan, 2018 )。對(duì)于任意不等質(zhì)量的三體問(wèn)題，2021年廖世俊與李曉明等合作將CNS與comtinuation method和Newton–Raphson迭代法相結(jié)合，從一個(gè)已知的、具有相同質(zhì)量的三體問(wèn)題周期軌道出發(fā)，成功獲得該三體系統(tǒng)任意不等質(zhì)量的135445個(gè)周期解（Science China – Physics, Mechanics & Astronomy, 2021），將三體問(wèn)題周期軌道數(shù)量增加了幾個(gè)數(shù)量級(jí)，證實(shí)了CNS求解三體問(wèn)題周期軌道（特別是長(zhǎng)周期軌道）的有效性。值得指出的是，與太陽(yáng)-地球-月亮這樣的分級(jí)結(jié)構(gòu)（hierarchical）明顯不同，這135445個(gè)周期軌道是非分級(jí)結(jié)構(gòu)（non-hierarchical），而且很多都是穩(wěn)定的，其質(zhì)量范圍與2019年諾貝爾物理獎(jiǎng)獲得者M(jìn)ichel Mayor 和 Didier Queloz所發(fā)現(xiàn)的太陽(yáng)系外（具有分級(jí)結(jié)構(gòu)的）第一個(gè)環(huán)繞類太陽(yáng)恒星的行星相近，因此很有可能在宇宙中確實(shí)存在，有可能被天文學(xué)家觀察到。

圖一：利用機(jī)器學(xué)習(xí)尋找同一族三體系統(tǒng)不同星球質(zhì)量的周期軌道。左下角紅色區(qū)域?yàn)橛脗鹘y(tǒng)方法獲得的少數(shù)已知周期軌道。相同顏色表示同一次外插，機(jī)器學(xué)習(xí)可以找到的周期軌道之最大區(qū)域。m1和m2為兩個(gè)星球質(zhì)量（m3 = 1）

2022年，為了進(jìn)一步大幅提高計(jì)算效率，廖世俊、李曉明、楊宇將CNS與機(jī)器學(xué)習(xí)和Newton–Raphson迭代相結(jié)合，利用前述傳統(tǒng)方法獲得的少數(shù)周期軌道之初始條件為初步訓(xùn)練集，應(yīng)用機(jī)器學(xué)習(xí)給出星球質(zhì)量外插時(shí)三體問(wèn)題周期軌道初始條件的預(yù)估值，再用CNS高精度地獲得星體運(yùn)動(dòng)收斂軌跡，用Newton–Raphson不斷修正初始條件，迭代找到其精確周期軌道；并用每一次外插獲得的所有新周期軌道組成一個(gè)更大的訓(xùn)練集，不斷增加星球質(zhì)量外插范圍，同時(shí)不斷改進(jìn)機(jī)器學(xué)習(xí)模型對(duì)周期軌道初始值的預(yù)估精度，直至找到該族三體問(wèn)題所有不同質(zhì)量的周期軌道，如圖1所示。最后，采用這樣獲得的所有周期軌道訓(xùn)練出的機(jī)器學(xué)習(xí)模型，對(duì)于（存在周期軌道之區(qū)域內(nèi)）任意質(zhì)量的三體問(wèn)題都能足夠精確地預(yù)測(cè)其周期軌道之初始條件、周期和穩(wěn)定性，如圖2所示。該基于CNS和機(jī)器學(xué)習(xí)的策略，將計(jì)算效率提高了幾個(gè)數(shù)量級(jí)，為高效地獲得三體問(wèn)題的周期軌道提出了一個(gè)全新的路線圖。該論文2022年在國(guó)際天文學(xué)雜志New Astronomy上發(fā)表（ https://doi.org/10.1016/j.newast.2022.101850 ），其相關(guān)機(jī)器學(xué)習(xí)程序和周期軌道可在GitHub ( https://github.com/sjtu-liao/three-body ) 免費(fèi)下載。

值得特別指出的是，由于采用CNS，廖世俊團(tuán)隊(duì)及其合作者獲得的（無(wú)因次）周期軌道達(dá)到60位有效精度：即使以宇宙直徑（930光年）為特征長(zhǎng)度，其初始位置的精度也達(dá)到1.0E-41米量級(jí)，遠(yuǎn)小于具有物理意義的最小長(zhǎng)度 —— 普朗克長(zhǎng)度 （1.62E-35米）。因此，從物理學(xué)觀點(diǎn)而言，進(jìn)一步提高計(jì)算結(jié)果的精度，沒(méi)有任何物理意義，盡管采用CNS很容易做到這一點(diǎn)。所以，應(yīng)用CNS獲得的三體問(wèn)題周期軌道之精度是如此之高，以至于其就是物理意義上的精確軌道。換言之，從物理上講，應(yīng)用CNS可以獲得三體問(wèn)題周期軌道的精確解！

廖世俊、李曉明、楊宇基于CNS和機(jī)器學(xué)習(xí)提出的求解三體問(wèn)題周期軌道的路線圖，將計(jì)算效率提高了幾個(gè)數(shù)量級(jí)，為獲得三體問(wèn)題海量的、（物理意義上）精確的周期軌道鋪平了道路。在擁有高性能計(jì)算機(jī)的今天，已經(jīng)沒(méi)有任何障礙，可以阻止人類獲得三體問(wèn)題海量的、（物理意義上）精確的周期軌道。三體問(wèn)題的解決，本質(zhì)上依賴高性能計(jì)算機(jī)和數(shù)學(xué)方法?；仡?“三體問(wèn)題”這個(gè)著名難題三百余年的求解歷史，人們不禁要感謝那些偉大的數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家和工程技術(shù)人員，特別是創(chuàng)建“混沌動(dòng)力學(xué)”的龐加萊，計(jì)算機(jī)和人工智能之父圖靈，提出現(xiàn)代計(jì)算機(jī)體系結(jié)構(gòu)的馮-諾伊曼，以及參與發(fā)明集成電路而獲得2000年諾貝爾物理獎(jiǎng)的Jack S. Kilby。三體問(wèn)題周期軌道這個(gè)經(jīng)典難題的解決，是理論和技術(shù)融合的典范。

三體問(wèn)題周期軌道的求解，證實(shí)了CNS求解復(fù)雜混沌問(wèn)題的有效性和潛力。理論上，CNS可應(yīng)用于N體問(wèn)題（N > 3）周期軌道的求解，星系演化的精確數(shù)值模擬，湍流的精確數(shù)值模擬，等等。

圖二：機(jī)器學(xué)習(xí)預(yù)測(cè)的不同質(zhì)量的三體問(wèn)題周期解所模擬的周期軌道。藍(lán)線：第一個(gè)星球；紅線：第二個(gè)星球；黑線：第三個(gè)星球。

【作者簡(jiǎn)介】

廖世俊博士，上海交通大學(xué)，船舶海洋與建筑工程學(xué)院 講席教授

上海交通大學(xué)物理和天文學(xué)院 兼職教授

李曉明博士，暨南大學(xué)，力學(xué)與建筑工程學(xué)院 副教授

楊宇，上海交通大學(xué)，船舶海洋與建筑工程學(xué)院 博士研究生